Cubiertas y envolventes en categorías de representaciones

Resumen del Libro

La tesis queda enmarcada en el contexto del álgebra homológica y la teoría de anillos y más concretamente en la teoría de cubiertas y envolventes en categorías de representaciones. La idea de aproximar módulos, tanto por la izquierda como por la derecha, se remonta al año 1953 en el cual Eckman y Schopf prueban que todo módulo admite una aproximacióon minimal a izquierda por un módulo inyectivo, esto es, tiene una envolvente inyectiva. A su vez Bass caracterizó los anillos para los cuales todo módulo se puede aproximar a la derecha de manera minimal: los anillos perfectos. La formulación general de cubiertas y envolventes referidas a una clase arbitraria de módulos es debida a Enochs en el año 1981. Dada una clase F de módulos cerrada bajo isomorfismos, una F -precubierta (o aproximación a derecha) de un módulo M es un morfismo & : F & M de forma que para cualquier otro morfismo &' : F '&&M con F ' & F existe un tercer morfismo f : F ' & F tal que & of = &', esto es, el morfismo canónico Hom(F ', F) & Hom(F ', M), es sobreyectivo. La F-precubierta se dice que es una F-cubierta (o una aproximación minimal a derecha) cuando para cada g : F & F tal que & o g = & se tiene que g es un automorfismo. El concepto de F -(pre)envolvente se define de manera dual. En el mismo artículo donde aparecen estas definiciones, Enochs formula lo que se conoce como “la conjetura de la cubierta plana” que afirma que todo m ́odulo admite una cubierta plana, es decir, una cubierta referida a la clase formada por todos los módulos planos . Esta conjetura ha sido resuelta recientemente en 2001 de dos formas distintas. Nuestro primer objetivo en la tesis es desarrollar una teoría general de cubiertas y envolventes en un marco suficientemente amplio como es el de las categorías de Grothendieck sin suficientes proyectivos. Este estudio está motivado porque una de las categorías más importantes en el ámbito de la geometría algebraica como es la de haces quasi-coherentes sobre un esquema de anillos, se ajusta a este marco. En este sentido probamos que todo haz quasi-coherente admite una cubierta plana y una envolvente cotorsión, esto es, la conjetura de la cubierta plana sigue siendo cierta en esta situación. El resultado adquiere una mayor relevancia por el hecho de no tener suficientes proyectivos en la categoría, puesto que la existencia de cubiertas planas, y así de suficientes planos, viene en cierta medida, desde un punto de vista homológico, a suplir la carencia de aquellos. Nuestro punto de vista a la hora de tratar los haces quasi-coherentes es por medio de las representaciones de quivers. Así, de este modo, el estudio, tratamiento y desarrollo de técnicas para tales categorías va a constituir otro de los puntos fundamentales durante la memoria, no sólo por su relevancia en el ámbito posterior de los haces quasi-coherentes, sino de manera independiente por la importancia que este tipo de categorías desempeñan en la teoría de representación de álgebras. Otro de los ejes principales en la tesis es el estudio del grupo de automorfismos que tiene asociado toda cubierta (o envolvente) de un objeto. Este tipo de grupos aparece de forma natural en la teoría clásica de Galois de extensiones de cuerpos, así como en topología algebraica cuando hablamos de morfismos recubridores. Por este motivo los denominamos grupo de Galois (cuando nos referimos a una envolvente) o de coGalois (para el correspondiente a una cubierta). Sobre tales grupos encontramos una reducción no trivial a la hora de calcularlos, lo cual nos permitirá describir su estructura en algunas situaciones. Este es el caso de los grupos de coGalois compactos asociados a cubiertas libres de torsión sobre grupos abelianos, para los cuales hay definida una topología de forma canónica.